POLIOMINÓS Y PENTOMINÓS

 

POLIOMINÓS Y PENTOMINÓS

 

    Por pentominós entendemos piezas formadas por cinco cuadrados iguales unidos entre sí al menos por una arista (se excluyen los que estén unidos sólo por un vértice).

    Los poliominós fueron presentados al mundo matemático en 1953 por Salomon W. Golomb. Este joven graduado de la Universidad de Harvard contaba entonces con 22 años, posteriormente se dedicó a la enseñanza de las matemáticas en la Universidad Sur de California. En esa presentación realizada en el Harvard Mathematics Club acuñó el término “pentominoes”.

    A partir de 1957 en que apareció un artículo sobre los pentominós de Martin Gardner en Scientific American su uso se ha extendido y se ha convertido en uno de los materiales más populares en el contexto de la “matemática recreativa”.

   Pero mucho antes, en 1907, Henry Ernest Dudeney había publicado el primer problema de pentominós en Canterbury Puzzles. Este tipo de rompecabezas adquirió cierta relevancia en la prensa durante los años 30 y 40 en Inglaterra.

   Golomb en su obra “Polyominoes”, publicada en Nueva York en 1959,  analizó los poliminós en general y dedicó varios capítulos a los pentominós. Martin Gardner incluyó varios capítulos de pentominós en sus libros de matemática recreativa.

    Un dominó se forma con dos cuadrados, un triminó con tres, los  tetraminós (5) con cuatro, los pentaminós (12) como ya hemos visto con cinco, los hexaminós (35) con seis, los heptaminós (108) con siete,… Entre paréntesis hemos señalado las piezas distintas que pueden encontrarse de cada uno de ellos. 

    Al cuantificar en doce las diversas formas de pentominós no contamos las imágenes en espejo ni las que resultan de rotar  90º.  Si contaramos las simetrías y rotaciones habría 63 formas de pentominós: Ocho posibilidades de rotación y de reflexión para los pentominós asimétricos F, L, N, P e Y;  cuatro posbilidades para los pentominós T, W, U, V y Z de espejo o punto-simétricos  ; dos posibilidades para I  y una para X totalmente simétricos.

    Por su forma se ha bautizado a cada una de los 12 pentominós como F, I, L, P, N, T, U, V, W, X, Y, Z.  Una sencilla regla nemotécnica para recordar sus nombres es retener la palabra FILiPiNo y pensar en  las siete últimas letras del abacedario

     Evidentemente es mucho más fácil resolver los problemas de pentominós con programas informáticos  que hacerlo a mano, pero  nosotros como maestros desde el punto de vista didáctico nos vamos a centrar en el uso manipulativo de este material en Primaria.

     Nosotros hemos decidido utilizar la presentación comercial de pentominós en 3D (pentacubos) obtenidos juntando cinco cubos con el contacto completo de las caras.

    En los años 60 Bouwkamp obtuvo las soluciones para la formación de sólidos con los pentominós 3D: paralepípedos 2x3x10, 2x5x6 y 3x4x5.

    Los pentominós tienen una lógica interna plasmada en el círculo que presenta uno a uno  mediante el cambio de la posición de uno de los cuadrados. Para algunos matemáticos este círculo sin fin expresa el infinito.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PROPIEDADES Y POSIBILIDADES DE LOS PENTOMINÓS

 

DIMENSIONES DE LOS 12 PENTOMINÓS EN FORMATO PENTACUBOS

 

	Nº  Lados	Nº  Aristas	Nº  Vértices	Volumen	Área
X	14	36	24	5	22
F	12	30	20	5	22
Y	12	30	20	5	22
W	12	30	20	5	22
N	10	24	16	5	22
T	10	24	16	5	22
U	10	24	16	5	22
Z	10	24	16	5	22
I	6	12	8	5	22
L	8	18	12	5	22
V	8	18	12	5	22
P	8	18	12	5	20

Unidad de volumen = un cubo.     Unidad de superficie = un cuadrado.

 

 

 

 

CONSTRUCCIÓN DE RECTÁNGULOS CON SESENTA CUADROS

 

- Pueden acoplarse los doce pentominós para formar rectángulos de cuatro tipos: de tres por veinte, cuatro por quince, cinco por doce y seis por diez.

- Los rectángulos de uno por veinte y dos por treinta no pueden ser recubiertos con pentominós

- Solamente se han encontrado dos únicas disposiciones posibles con los doce pentominós formando un rectángulo de seis por diez en el que todas las piezas toquen el borde.

- Conseguiremos dos rectángulos de cinco por seis disponiendo de forma adecuada los doce pentominós.

- Las diferentes disposiciones de los pentominós ofrecen varias posibilidades - múltiplos de cinco- para formar rectángulos, pero entre éstos solo hay un cuadrado posible (5x5).

 

CONFIGURACIONES ESPECIALES

 

- Puede construirse con los doce pentominós una pirámide de sesenta y cuatro cuadros añadiendo un tetraminó cuadrado de dos por dos.

- Es factible triplicar cualquier pentominó utilizando nueve de los restantes, construyendo un modelo a escala tres veces mayor  (cuya longitud y anchura sean tiples de las del pentominó dado).

- Se construye un pentominó a escala 1:2 (anchura y longitud dobles) , con cuatro pentominós

- Relacionadas con estas configuraciones se plantea el problema de dividir en cuatro partes iguales un pentominó doble (que ocupa 20 cuadrados). Así la T a escala 1:2 se recubre con cuatros P, y la Z con cuatro L, etc…

 

COMBINANDO CON MONOMINÓS Y OTROS POLIMINÓS

 

- Combinando algunos pentominós con los cinco tetraminós se forman cuadrados de cinco por cinco.

- Por lo tanto para representar cuadrados de 3x3, 4x4, 6x6, 7x7 y 8x8 es preciso completar los recubrimientos de pentominós con monominós, tetraminós,…   

- Un rectángulo de pentominós de seis por diez puede transformarse en uno de tres por nueve colocando adecuadamente tres monominós.

- Resulta factible construir rectángulos de tres por siete con cuatro pentominós añadiendo un monominó.

- Para formar un rectángulo de 13x5 hay que dejar cinco huecos de monominós o un hueco equivalente a un pentominó

 

PROBLEMAS DE SUPERPOSICIÓN

 

- Repartir los doce pentominós en tres grupos de cuatro de forma que recubran la misma figura de veinte cuadros

- Repartir los doce pentominós en tres grupos de cuatro y dividir cada grupo en dos pares de piezas buscando una región de diez cuadros que sea recubierta por cada uno de los dos pares de pentominós

- Repartir los doce pentominós en tres grupos de cuatro cada uno añadiendo un monominó formando rectángulos de tres por siete.

 

REPRESENTACIÓN DE ANIMALES

 

- Con los doce pentominós pueden también realizarse recubrirmientos semejantes a figuras de animales como el camello, paloma, elefante, gallo, pingüino, etc… 

 

PROPIEDADES DE TESELACIÓN DE LOS PENTOMINÓS

 

    Cualquiera de los doce pentominós puede generar una pavimentación periódica del plano. Tres de ellos (T, U, F) exigen giros para realizar teselaciones periódicas. John H. Conway ha estudiado en profundidad las propiedades de teselación de los poliominós.

 

COMBINACIONES SIMÉTRICAS

 

     Reciben el nombre de “symcoms” –combinaciones simétricas- los grupos de dos o tres pentominós que se pueden girar o trasladar para  cubrir la misma forma de una manera distinta.

    La combinación VZN puede recubrir el mismo área de formas distintas. Otro grupo de tres pentominós XUL recubre exactamente la misma superficie que la combinación VZN.

    Los únicos pares de piezas que pueden llenar la misma superficie de dos maneras distintas y no simétricas son PL y NF.

 

CONFIGURACIONES MÁS FRECUENTES

 

    Las asociaciones de pentominós más frecuentes en la configuración de rectángulos son UX, VZ y FP.

 

EL CÍRCULO O COLLAR DE LOS PENTOMINÓS

 

     Es posible conseguir los doce pentominós a partir de uno de ellos moviendo uno de los cinco cuadrados a otra posición en un círculo sin fin.

 

PERÍMETRO

 

 Todos los pentominós tienen el mismo perímetro (doce) excepto el P que tiene solo once.